2015
年高考數學試題分類匯編
-----
專題九
(導數及應用)
答案解析
1.
(
15
北京理科)已知函數
?
?
1
ln
1
x
f
x
x
?
?
?
.
(Ⅰ)求曲線
?
?
y
f
x
?
在點
?
?
?
?
0
0
f
,
處的切線方程;
(Ⅱ)求證:當
?
?
0
1
x
?
,
時,
?
?
3
2
3
x
f
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
;
(Ⅲ)設實數
k
使得
?
?
3
3
x
f
x
k
x
?
?
?
?
?
?
?
?
對
?
?
0
1
x
?
,
恒成立,求
k
的最大值.
【答案】
(Ⅰ)
2
0
x
y
?
?
,
(Ⅱ)證明見解析,
(Ⅲ)
k
的最大值為
2.
試題解析:
(Ⅰ)
2
1
2
(
)
ln
,
(
1,1),
(
)
,
(0)
2,
(0)
0
1
1
x
f
x
x
f
x
f
f
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,曲線
?
?
y
f
x
?
在點
?
?
?
?
0
0
f
,
處的切線方程為
2
0
x
y
?
?
;
(Ⅱ)當
?
?
0
1
x
?
,
時,
?
?
3
2
3
x
f
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
,即不等式
3
(
)
2
(
)
0
3
x
f
x
x
?
?
?
,對
(0,1)
x
?
?
成立,設
3
3
1
(
)
ln
2
(
)
ln(1
)
ln(1
)
2
(
)
1
3
3
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,則
4
2
2
(
)
1
x
F
x
x
?
?
?
,當
?
?
0
1
x
?
,
時,
(
)
0
F
x
?
?
,故
(
)
F
x
在(
0
,
1
)上為增函數,則
(
)
(0)
0
F
x
F
?
?
,因此對
(0,1)
x
?
?
,
3
(
)
2
(
)
3
x
f
x
x
?
?
成立;
(Ⅲ)使
?
?
3
3
x
f
x
k
x
?
?
?
?
?
?
?
?
成立,
?
?
0
1
x
?
,
,等價于
3
1
(
)
ln
(
)
0
1
3
x
x
F
x
k
x
x
?
?
?
?
?
?
,
?
?
0
1
x
?
,
;
4
2
2
2
2
2
(
)
(1
)
1
1
kx
k
F
x
k
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
當
[0,2]
k
?
時,
(
)
0
F
x
?
?
,函數在(
0
,
1
)上位增函數,
(
)
(0)
0
F
x
F
?
?
,
符合題意;
當
2
k
?
時,令
4
0
2
(
)
0,
(0,1)
k
F
x
x
k
?
?
?
?
?
,
x
0
(0,
)
x
0
x
0
(
,1)
x
(
)
F
x
?
-
0
+
(
)
F
x
極小值
(
)
(0)
F
x
F
?
,顯然不成立,
綜上所述可知:
k
的最大值為
2.
考點:
1.
導數的幾何意義;
2.
利用導數研究函數的單調性,證明不等式;
3.
含參問題討
論
.
2.
(
15
北京文科)設函數
?
?
2
ln
2
x
f
x
k
x
?
?
,
0
k
?
.
(Ⅰ)求
?
?
f
x
的單調區間和極值;
(Ⅱ)證明:若
?
?
f
x
存在零點,則
?
?
f
x
在區間
?
1,
e
?
?
上僅有一個零點.
【答案】
(
1
)單調遞減區間是
(0,
)
k
,單調遞增區間是
(
,
)
k
??
;極小值
(1
ln
)
(
)
2
k
k
f
k
?
?
;
(
2
)證明詳見解析