A 

B 

C 

D 

P 

E 

2015

年全國中考數學試題分類匯編————壓軸題

1.

在平面直角坐標系

xOy

中，拋物線的解析式是

y =

2

4

1

x

+1

，點

C

的坐標為

(

–

4

，

0)

，平行

四邊形

OABC

的頂點

A

，

B

在拋物線上，

AB

與

y

軸交于點

M

，已知點

Q

(

x

，

y

)

在拋物線

上，點

P

(

t

，

0)

在

x

軸上

. 

(1) 

寫出點

M

的坐標；

(2) 

當四邊形

CMQP

是以

MQ

，

PC

為腰的梯形時

. 

①

求

t

關于

x

的函數解析式和自變量

x

的取值范圍；

②

當梯形

CMQP

的兩底的長度之比為

1

：

2

時，求

t

的值

. 

(1)M(0,2)(2)1AC:y= 

2

1

x+1.PQ // MC.

t

x

x

?

?

?

0

1

4

1

2

=

2

1

2. 

如圖，已知在矩形

ABCD

中，

AB

＝

2

，

BC

＝

3

，

P

是線段

AD

邊上的任意一點（不含端點

A

、

D

），連結

PC

，

過點

P

作

PE

⊥

PC

交

AB

于

E

（

1

）在線段

AD

上是否存在不同于

P

的點

Q

，使得

QC

⊥

QE

？若存在，求線段

AP

與

AQ

之間的數量關系；若不存在，請說明理由；

（

2

）當點

P

在

AD

上運動時，對應的點

E

也隨之在

AB

上運動，求

BE

的取值范圍．

（

3

）存在，理由如下：

如圖

2

，假設存在這樣的點

Q

，使得

QC

⊥

QE. 

由（

1

）得：

△

PAE

∽

△

CDP

，

∴

，

∴

，

∵

QC

⊥

QE

，

∠

D

＝

90

 °

，

∴

∠

AQE

＋

∠

DQC

＝

90

 °

 ,

∠

DQC

＋

∠

DCQ

＝

90°

，

∴

∠

AQE=

∠

DCQ. 

又

∵

∠

A=

∠

D=90°

，

∴

△

QAE

∽

△

CDQ

，

∴

，

∴

∴

，

即

，

∴

，

∴

，

∴

 . 

∵

AP≠AQ

，

∴

AP

＋

AQ

＝

3.

又

∵

AP≠AQ

，

∴

AP≠

，即

P

不能是

AD

的中點，

∴

當

P

是

AD

的中點時，滿足條件的

Q

點不存在，

綜上所述，

的取值范圍

8

7

≤

＜

2

；

3.

如圖，已知拋物線

y

＝－

1

2

x

2

＋

x

＋

4

交

x

軸的正半軸于點

A

，交

y

軸于點

B

．

（

1

）求

A

、

B

兩點的坐標，并求直線

AB

的解析式；

（

2

）設

P

（

x

，

y

）（

x

＞

0

）是直線

y

＝

x

上的一點，

Q

是

OP

的中點（

O

是原點），以

PQ

為對角線作正方形

PEQF

，若正方形

PEQF

與直線

AB

有公共點，求

x

的取值范圍；

（

3

）在（

2

）的條件下，記正方形

PEQF

與△

OAB

公共部分的面積為

S

，求

S

關于

x

的函

數解析式，并探究

S

的最大值．

(1)

令

x=0,

得

y=4 

即點

B

的坐標為

(0,4) 

令

y=0,

得

(-1/2)x2+x+4=0 

則

x2-2x-8=0 

∴

x=-2

或

x=4 

∴

點

A

的坐標為

(4,0) 

直線

AB

的解析式為

(y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) 

∴

y=-x+4 

(2)

由

(1),

知直線

AB

的解析式為

y=-x+4