應用題
1.
(四川理
9
)
某運輸公司有
12
名駕駛員和
19
名工人,有
8
輛載重量為
10
噸的甲型卡車和
7
輛載重量為
6
噸的乙型卡車.某天需運往
A
地至少
72
噸的貨物,派用的每輛車虛滿載
且只運送一次.派用的每輛甲型卡車虛配
2
名工人,運送一次可得利潤
450
元;派用的
每輛乙型卡車虛配
1
名工人,運送一次可得利潤
350
元.該公司合理計劃當天派用兩類
卡車的車輛數,可得最大利潤
z=
A
.
4650
元
B
.
4700
元
C
.
4900
元
D
.
5000
元
【答案】
C
【解析】由題意設派甲,乙
,
x
y
輛,則利潤
450
350
z
x
y
?
?
,得約束條件
0
8
0
7
12
10
6
72
2
19
x
y
x
y
x
y
x
y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
畫
出可行域在
12
2
19
x
y
x
y
?
?
?
?
?
?
?
的點
7
5
x
y
?
?
?
?
?
代入目標函數
4900
z
?
2.
(湖北理
10
)
放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,
這種現象稱為衰變。
假設在放射性同位素銫
137
的衰變過程中,
其含量
M
(單位:
太貝克)
與時間
t
(單位:年)滿足函數關系:
30
0
(
)
2
t
M
t
M
?
?
,其中
M
0
為
t=0
時銫
137
的含量。
已知
t=30
時,銫
137
含量的變化率是
-10In2
(太貝克/年)
,則
M
(
60
)
=
A
.
5
太貝克
B
.
75In2
太貝克
C
.
150In2
太貝克
D
.
150
太貝克
【答案】
D
3.
(北京理)
。根據統計,一名工作組裝第
x
件某產品所用的時間(單位:分鐘)為
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
x
A
c
A
x
x
c
x
f
,
,
,
)
(
(
A
,
C
為常數)
。已知工人組裝第
4
件產品用時
30
分鐘,組裝第
A
件產品用時
15
分鐘,那么
C
和
A
的值分別是
A
.
75
,
25
B
.
75
,
16
C
.
60
,
25
D
.
60
,
16
【答案】
D
4
.
(陜西理)
植樹節某班
20
名同學在一段直線公路一側植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距
10
米。開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學從各自樹坑出發前來領取
樹苗往返所走的路程總和最小,這個最小值為
(米)
。
【答案】
2000
5
.
(湖北理)
《九章算術》
“竹九節”問題:現有一根
9
節的竹子,自上而下各節的容積成等
差數列,
上面
4
節的容積共為
3
升,
下面
3
節的容積共
4
升,
則第
5
節的容積為
升。
【答案】
67
66
6.
(湖北理)
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下,大
橋上的車流速度
v
(單位:千米
/
小時)是車流密度
x
(單位:輛
/
千米)的函數。當橋上
的的車流密度達到
200
輛
/
千米時,造成堵塞,此時車流速度為
0
;當車流密度不超過
20
輛
/
千米時,車流速度為
60
千米
/
小時,研究表明;當
20
200
x
?
?
時,車流速度
v
是車
流密度
x
的一次函數.
(Ⅰ)當
0
200
x
?
?
時,求函數
?
?
v
x
的表達式
;
(Ⅱ)當車流密度
x
為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀點的車輛數,單位:輛
/
每小時)
?
?
?
?
.
f
x
x
v
x
?
可以達到最大,并求出最大值(精確到
1
輛
/
小時)
本小題主要考查函數、最值等基礎知識,同時考查運用數學知識解決實際問題的能力。
(滿分
12
分)
解:
(Ⅰ)由題意:當
0
20
,
(
)
60
x
v
x
?
?
?
時
;當
20
200
,
(
)
x
v
x
ax
b
?
?
?
?
時
設
再由已知得
1
,
200
0,
3
20
60,
200
3
a
a
b
a
b
b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解得
故函數
(
)
v
x
的表達式為
60,
0
20,
(
)
1
(200
),20
200
3
x
v
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(Ⅱ)依題意并由(Ⅰ)可得
60
,
0
20,
(
)
1
(200
),20
200
3
x
x
f
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
當
0
20
,
(
)
x
f
x
?
?
時
為增函數,故當
20
x
?
時,其最大值為
60
×
20=1200
;
當
20
200
x
?
?
時,
2
1
1
(200
)
10000
(
)
(200
)
[
]
3
3
2
3
x
x
f
x
x
x
?
?
?
?
?
?
當且僅當
200
x
x
?
?
,即
100
x
?
時,等號成立。
所以,當
100
,
(
)
x
f
x
?
時
在區間
[20
,
200]
上取得最大值
10000
3
綜上,當
100
x
?
時,
(
)
f
x
在區間
[0
,
200]
上取得最大值
10000
3333
3
?
。
即當車流密度為
100
輛
/
千米時,車流量可以達到最大,最大值約為
3333
輛
/
小時。
7.
(湖南理
20
)
。如圖
6
,長方體物體
E
在雨中沿面
P
(面積為
S
)的垂直方向作勻速移動,
速度為
v
(
v
>
0
)
,雨速沿
E
移動方向的分速度為
?
?
c
c
R
?
。
E
移動時單位時間內的淋雨
量包括兩部分:
(
1
)
P
或
P
的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量,假設其值與
v
c
?
×S
成正比,比例系數為
1
10
;
(
2
)其它面的淋雨量之和,其值為
1
2
,記
y
為
E
移動過程中的
總淋雨量,當移動距離
d=100
,面積
S=
3
2
時。
(Ⅰ)寫出
y
的表達式
(Ⅱ)
設
0
<
v
≤
10,0
<
c
≤
5
,
試根據
c
的不同取值范圍,
確定移動速度
v
,使總淋雨量
y
最少。